317. 爆竹(Firecracker)

一枚爆竹在距离水平地面100米的高度爆炸,它分裂成了许多非常小的碎片,向各个方向迸射,这些碎片的初始速率均为\(20\ m/s\)。我们假定碎片移动时不受空气阻力,但处在均匀的重力场中,重力加速度\(g=9.81\ m/s^2\)。求碎片在落地前所经过空间的总体积,将你的答案四舍五入到四位小数。

分析:此题需要用到包络线这个概念,我们可以想像,当爆竹或烟花在空中爆炸以后,向外迸射的角度各不相同,既可以垂直向上和向下,也可以是其它方向,假设迸射方向与向右的水平方向的角度为\(\theta\),则\(\theta\)的取值范围是\([-\pi/2,\pi/2]\)。每一个角度对应一个抛射轨迹,而这些抛射轨迹的包络线可以将这些抛射轨迹都包含其中,因此我们只要求这条包络线\(y\)轴旋转而成的旋转体体积,即为题目所求。首先我们来看一下如何求解包络线。

一、求解包络线

我们以地面为横轴,烟花向上发射的竖直方向为纵轴,另设烟花爆炸的高度为\(h\),烟花向外迸射的初速度为\(v\),烟花迸射方向与正横轴的角度为\(\theta\),自烟花爆炸后经历的时间为\(t\),则根据抛射物体的运动方程有:

$$ \begin{cases} x=vtcos( \theta ) & \\ y=h+vtsin( \theta ) -\frac{1}{2} gt^{2} & \end{cases} $$

根据以上方程组,我们将\(t\)代换掉,则有:

$$ y=h+v\frac{x}{vcos( \theta )} sin( \theta ) -\frac{1}{2} g\left(\frac{x}{vcos( \theta )}\right)^{2} =h+xtan( \theta ) -\frac{gx^{2}}{2v^{2} cos^{2}( \theta )} $$

因此我们可以定义曲线簇为:

$$ F( \theta ,x,y) =h+xtan( \theta ) -\frac{gx^{2}}{2v^{2} cos^{2}( \theta )} -y $$

根据包络线的定义,包络线即为同时满足以下两个条件的曲线:

$$ \begin{cases} F( \theta ,x,y) =h+xtan( \theta ) -\frac{gx^{2}}{2v^{2} cos^{2}( \theta )} =0\\ \frac{\partial F}{\partial \theta } =\frac{x}{cos^{2}( \theta )} -\frac{gx^{2} sin( \theta )}{2v^{2} cos^{3}( \theta )} =\frac{x}{cos^{2}( \theta )}\left( 1-\frac{gx}{v^{2}} tan( \theta )\right) =0 \end{cases} $$

联立以上两个方程,我们可以得到:

$$ x^{2} =\left( h+\frac{v^{2}}{2g} -y\right)\frac{2v^{2}}{g} $$

此即为包络线方程,它也是一条抛物线。

二、求解体积

在已知包络线方程的情况下,我们可以将其绕\(y\)轴旋转,得到的抛物体就是烟花迸射的所有轨迹经过的空间的体积,则有:

$$ V=\int _{0}^{y_{m}} \pi x^{2} dy $$

其中\(y_m\)\(x=0\)时的取值,即\(y_m=h+v^2/2g\),则有:

$$ \begin{aligned} \int _{0}^{y_{m}} \pi x^{2} dy & =\int _{0}^{y_{m}} \pi \left( h+\frac{v^{2}}{2g} -y\right)\frac{2v^{2}}{g} dy\\ & =\frac{2\pi v^{2}}{g}\int _{0}^{y_{m}}\left( h+\frac{v^{2}}{2g} -y\right) dy\\ & =\frac{2\pi v^{2}}{g}\left[\left( h+\frac{v^{2}}{2g}\right) y-\frac{1}{2} y^{2}\right]_{0}^{y_{m}}\\ & =\frac{2\pi v^{2}}{g}\left(\left( h+\frac{v^{2}}{2g}\right)^{2} -\frac{1}{2}\left( h+\frac{v^{2}}{2g}\right)^{2}\right)\\ & =\frac{\pi v^{2}}{g}\left( h+\frac{v^{2}}{2g}\right)^{2} \end{aligned} $$

我们将\(v=20,h=100,g=9.81\)代入即可以得到体积。