449. 巧克力糖衣(Chocolate covered candy)
糖果师傅菲尔正在制造一种用巧克力做糖衣的新型糖果，每块糖的中心是一个椭球体，由如下方程给出\(b^2x^2 + b^2y^2 + a^2z^2 = a^2b^2\)。菲尔想知道，给这样一个糖果裹上一毫米厚的巧克力糖衣需要多少巧克力：
- 如果\(a=1\ mm\)且\(b=1\ mm\)，需要的巧克力是\(\frac{28}{3}\pi\ mm^3\)；
- 如果\(a=2\ mm\)且\(b=1\ mm\)，需要的巧克力大概是\(60.35475635\ mm^3\)；
当\(a=3\ mm\)且\(b=1\ mm\)时，求需要多少巧克力并保留小数点后8位数字。
分析：就我的理解来看，这是欧拉计划中少有的一道需要用到高等数学知识解决的问题，主要涉及到使用积分求解旋转体的体积。需要注意到的是，在椭球表面涂一层均匀厚度的巧克力，得到的不再是一个椭球，所以无法用椭球公式来求解涂层后的形状的体积。如果把题目中给出的椭球公式两边同时除以\(a^2b^2\)，则有：
$$
\left(\frac{x}{a}\right)^{2} +\left(\frac{y}{a}\right)^{2} +\left(\frac{z}{b}\right)^{2} =1
$$
即这个椭球在\(x\)与\(y\)轴上对应的半轴长度一样，因此是一个旋转椭球体，具体可以看作是如下在\(XOZ\)平面的椭圆绕\(Z\)轴旋转而成的：
$$
\left(\frac{x}{a}\right)^{2} +\left(\frac{z}{b}\right)^{2} =1
$$
同时包含外面图层的整体形状也是这样旋转而成的，因此我们可以先看一下二维的情况。在平面中，满足题目要求的曲线称为平行曲线，根据这里面的公式，我们可以根据椭圆的参数方程推出其平行曲线的参数方程。已知㮋圆的参数方程为\(x=acos(t),z=bsin(t)\)，假设外侧平均曲线与椭圆的距离为\(k\)，则平行曲线的参数方程为：
$$
\begin{aligned}
x_{p} & =\left( a+\frac{bk}{\sqrt{a^{2} sin^{2}( t) +b^{2} cos^{2}( t)}}\right) cos( t)\\
z_{p} & =\left( b+\frac{ak}{\sqrt{a^{2} sin^{2}( t) +b^{2} cos^{2}( t)}}\right) sin( t)
\end{aligned}
$$
则根据旋转体求体积的公式，我们可以得到涂层外的形状的体积应为：
$$
V_o=\int _{-\pi /2}^{\pi /2} 2\pi x^{2}( t) z'( t) dt
$$
则中间涂层的体积为整个形状体积减去中间的椭球的体积：
$$
V_{c} =V_{o} -V_{e} =\int _{-\pi /2}^{\pi /2} 2\pi x^{2}( t) z'( t) dt-\frac{4}{3} \pi a^{2} b
$$
当我们把\(a=3,b=1,k=1\)代入时，我们可以具体求解以上积分，使用mathematica可得精确解如下：
$$
V_{c} =\frac{1}{12} \pi \left( 27\sqrt{2} \pi +256-27\sqrt{2}\tan^{-1}\left(\frac{4\sqrt{2}}{7}\right) +18\sqrt{2}\tanh^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\right)
$$
将以上结果求出来并精确到八位小数即为题目所求。