449. 巧克力糖衣(Chocolate covered candy)

糖果师傅菲尔正在制造一种用巧克力做糖衣的新型糖果,每块糖的中心是一个椭球体,由如下方程给出\(b^2x^2 + b^2y^2 + a^2z^2 = a^2b^2\)。菲尔想知道,给这样一个糖果裹上一毫米厚的巧克力糖衣需要多少巧克力:

  • 如果\(a=1\ mm\)\(b=1\ mm\),需要的巧克力是\(\frac{28}{3}\pi\ mm^3\)
  • 如果\(a=2\ mm\)\(b=1\ mm\),需要的巧克力大概是\(60.35475635\ mm^3\)

\(a=3\ mm\)\(b=1\ mm\)时,求需要多少巧克力并保留小数点后8位数字。

分析:就我的理解来看,这是欧拉计划中少有的一道需要用到高等数学知识解决的问题,主要涉及到使用积分求解旋转体的体积。需要注意到的是,在椭球表面涂一层均匀厚度的巧克力,得到的不再是一个椭球,所以无法用椭球公式来求解涂层后的形状的体积。如果把题目中给出的椭球公式两边同时除以\(a^2b^2\),则有:

$$ \left(\frac{x}{a}\right)^{2} +\left(\frac{y}{a}\right)^{2} +\left(\frac{z}{b}\right)^{2} =1 $$

即这个椭球在\(x\)\(y\)轴上对应的半轴长度一样,因此是一个旋转椭球体,具体可以看作是如下在\(XOZ\)平面的椭圆绕\(Z\)轴旋转而成的:

$$ \left(\frac{x}{a}\right)^{2} +\left(\frac{z}{b}\right)^{2} =1 $$

同时包含外面图层的整体形状也是这样旋转而成的,因此我们可以先看一下二维的情况。在平面中,满足题目要求的曲线称为平行曲线,根据这里面的公式,我们可以根据椭圆的参数方程推出其平行曲线的参数方程。已知㮋圆的参数方程为\(x=acos(t),z=bsin(t)\),假设外侧平均曲线与椭圆的距离为\(k\),则平行曲线的参数方程为:

$$ \begin{aligned} x_{p} & =\left( a+\frac{bk}{\sqrt{a^{2} sin^{2}( t) +b^{2} cos^{2}( t)}}\right) cos( t)\\ z_{p} & =\left( b+\frac{ak}{\sqrt{a^{2} sin^{2}( t) +b^{2} cos^{2}( t)}}\right) sin( t) \end{aligned} $$

则根据旋转体求体积的公式,我们可以得到涂层外的形状的体积应为:

$$ V_o=\int _{-\pi /2}^{\pi /2} 2\pi x^{2}( t) z'( t) dt $$

则中间涂层的体积为整个形状体积减去中间的椭球的体积:

$$ V_{c} =V_{o} -V_{e} =\int _{-\pi /2}^{\pi /2} 2\pi x^{2}( t) z'( t) dt-\frac{4}{3} \pi a^{2} b $$

当我们把\(a=3,b=1,k=1\)代入时,我们可以具体求解以上积分,使用mathematica可得精确解如下:

$$ V_{c} =\frac{1}{12} \pi \left( 27\sqrt{2} \pi +256-27\sqrt{2}\tan^{-1}\left(\frac{4\sqrt{2}}{7}\right) +18\sqrt{2}\tanh^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\right) $$

将以上结果求出来并精确到八位小数即为题目所求。